- 261. Максимальное удовлетворение потребностей для обменивающегося лица имеет место тогда, когда оно распределило свой доход между разными видами потребностей таким образом, что отношения редкостей услуг и продуктов к их ценам равны.
- 262. Для общества максимальная действительная полезность новых капиталов, чья прибыль потребляется, имеет место тогда, когда оно (общество) распределило избыток своего дохода над потреблением между разными видами капитализации таким образом, что отношения доходов к ценам капиталов равны.
261. Я обещал доказать (§ 243), что условие равенства отношений чистых доходов и цен новых капиталов является, с некоторыми оговорками, условием максимума действительной полезности услуг этих новых капиталов в использовании общественного избытка дохода над потреблением так же, как условие равенства отношений редкостей к ценам услуг и продуктов является условием максимума действительной полезности этих услуг и продуктов в использовании индивидуальных доходов. Пришло время дать это доказательство.
Пусть δt ... δp ... δk, δk', δk'' ... δa, δb, δc, δδ ... — количества услуг (T)... (P). (K), (K'), (K'')... и продуктов (А), (B), (C), (D). , которые обменивающееся лицо должно оставить себе или купить при ценах pt... pp... pk, pk', pk''... pb, pc, pδ... на эти услуги и продукты, выраженные в (А), тогда имеем:
где s — доход, распределяемый данным индивидом между своими потребностями в n видов услуг и m видов продуктов.
Кроме того, пусть — в соответствии с ранее введенными обозначениями (§ 75) — уравнения
выражают действительные полезности услуг (T)... (P)... (K), (K'), (K'')... и продуктов (А), (B), (C), (D)... для нашего индивида в виде функций от потребляемых количеств. Следовательно,
и есть та совокупная действительная полезность услуг или продуктов, оставляемых себе или покупаемых, которую и следует максимизировать. Поскольку производные функций Ф в основном будут убывающими, то искомый максимум для нашего индивида будет достигнут, когда попарные алгебраические суммы дифференциальных приращений полезности по потребленным количествам каждого из товаров будут равны нулю. В самом деле, если предположить, что любые два из этих приращений противоположного знака не равны, то будет выгодно предъявлять спрос на большее или меньшее количество того товара, для которого дифференциальное приращение сильнее или слабее, и предлагать большее или меньшее количество того, для которого приращение будет слабее или сильнее. Таким образом, условие максимального удовлетворения потребностей может быть выражено системой уравнений:
Итак, с одной стороны, производные функций действительной полезности по потребляемым количествам есть не что иное, как редкости, а с другой стороны, с точки зрения проблемы распределения индивидом некоторого дохода между различными видами своих потребностей попарные алгебраические суммы произведений цен товаров на дифференциалы потребляемых количеств в силу уравнения [1] равны нулю и описываются уравнениями
Следовательно, данная система может быть заменена следующей:
262. Теперь предположим, что все прибыли на новые капиталы используются как потребительские, а не как производительные услуги. Тогда
Эти количества являются одновременно количествами новых прибылей (K), (K'), (K'')..., потребляемыми соответственно обменивающимися лицами (1), (2), (3),. по ценам pk, pk', pk''... этих прибылей, выраженным в (A), и количествами новых капиталов (K), (K'), (K'')..., произведенными для того, чтобы остаться в распоряжении их собственников или быть одолженными потребителям. Пусть Pk, Pk', Pk''... — цены новых капиталов, тогда имеем
где Е — совокупный избыток дохода над потреблением, который общество должно распределить между l видов новых капиталов.
Пусть, кроме того,
— уравнения, выражающие действительные полезности прибылей (K), (K'), (К'')... для обменивающегося лица (1), выраженные как функции от потребляемых количеств этих прибылей или от произведенных количеств капиталов. Следовательно,
есть совокупная действительная полезность потребляемых количеств прибылей, или произведенных количеств капиталов, которую и надлежит максимизировать. Поскольку производные функций Ф по большей части будут убывающими, то искомый максимум для нашего индивида будет достигнут, когда попарные алгебраические суммы дифференциальных приращений полезности по произведенным количествам каждого из новых капиталов будут равны нулю. В самом деле, если предположить, что любые два из этих приращений противоположного знака не равны, то будет выгодно производить меньше того из капиталов, дифференциальное приращение у которого меньше, с тем, чтобы увеличить производство того, у которого оно больше. Таким образом, условие максимальной полезности новых капиталов для обменивающегося лица (1) может быть выражено следующей системой уравнений:
Итак, с одной стороны, производные функций действительной полезности по произведенным количествам каждого из новых капиталов (являющихся также производными этих функций по потребляемым количествам каждой из прибылей), есть не что иное, как редкости, прямо пропорциональные ценам прибылей pk, pk', pk''... согласно уравнениям
И, с другой стороны, с точки зрения интересующей нас сейчас проблемы распределения обществом некоторого избытка дохода над потреблением между различными видами капитализации, попарные алгебраические суммы произведений цен разных капиталов Pk, Pk', Pk''... на дифференциалы произведенных количеств этих капиталов, в силу уравнений [2] равны нулю, в соответствии с уравнениями
Эту систему можно заменить на следующую:
выражающую также условие максимума действительной полезности новых капиталов для обменивающихся лиц (2), (3).
Данное доказательство ничего не говорит о продолжительности пользования услугой, да в этом и нет необходимости. В зависимости от того, будет ли эта продолжительность равна одному году, одному месяцу или одному дню, отношение р/Р будет нормой годового, месячного или дневного валового дохода. В данном случае мы подразумеваем, что речь идет о годовой норме.
Кроме того, наше доказательство не учитывает амортизации и страхования капиталов; иначе говоря, предполагается, что эти капиталы либо неразрушимы и неуничтожимы, либо что амортизацию и страхование собственники осуществляют добровольно за свой счет. Если бы теперь мы захотели ввести условие, что эти амортизация и страхование производятся за счет потребителей услуг, то следовало бы, сохраняя пропорциональность редкостей прибылей и их цен в качестве условия максимального удовлетворения потребностей, прибавить к себестоимости каждой единицы капитала сумму, необходимую для покрытия объема амортизации и страхования при данной норме чистого дохода на этот капитал. Тогда это будут алгебраические суммы произведений сумм Pk+Pk(μk+vk)/ik, Pk'+Pk'(μk'+vk')/ik', Pk''+Pk''(μk''+vk'')/ik''... или произведений (pk/πk)Pk, (pk'/πk')Pk', (pk''/πk'')Pk''... на дифференциалы произведенных количеств разных капиталов, алгебраические суммы, которые будут попарно равны нулю, в соответствии с уравнениями
что, в конечном счете, даст условие максимальной полезности новых капиталов:
